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Quantum computation: a tutorial

Samuel L. Braunstein

Astratto:

Immagina un computer la cui memoria sia esponenzialmente più grande della sua apparente dimensione fisica; un computer in grado di manipolare un insieme esponenziale di input simultaneamente; un computer che calcola nella zona crepuscolare dello spazio di Hilbert. Saresti pensando a un computer quantico. Sono necessari concetti relativamente pochi e semplici della meccanica quantistica per rendere possibili i computer quantistici. La sottigliezza è stata nell’imparare a manipolare questi concetti. Un tale computer è inevitabile o sarà troppo difficile da costruire?

In questo articolo forniamo un tutorial su come la meccanica quantistica può essere utilizzata per migliorare il calcolo. La nostra sfida: risolvere un problema esponenzialmente difficile per un computer convenzionale, ovvero il factoring di un numero elevato. Come preludio, esaminiamo gli strumenti standard di computazione, porte e macchine universali. Queste idee vengono quindi applicate prima ai computer classici, privi di dissipazione e quindi ai computer quantistici. Un modello schematico di un computer quantistico è descritto così come alcune delle sottigliezze nella sua programmazione. L’algoritmo di Shor [1,2] per la fattorizzazione efficiente di numeri su un computer quantistico è presentato in due parti: la procedura quantica all’interno dell’algoritmo e l’algoritmo classico che chiama la procedura quantica. La struttura matematica in factoring che rende possibile l’algoritmo di Shor è discussa. Concludiamo con uno sguardo alla fattibilità e alle prospettive per il calcolo quantistico nei prossimi anni.

Cominciamo descrivendo il problema in questione: calcolando un numero N nei suoi fattori primi (ad es. Il numero 51688 può essere decomposto come ). Un modo conveniente per quantificare la velocità con cui un particolare algoritmo può risolvere un problema è chiedersi come il numero di passi per completare l’algoritmo si riduca con la dimensione dell ‘”input” che viene alimentato dall’algoritmo. Per il problema del factoring, questo input è solo il numero N vogliamo fattore; quindi la lunghezza dell’input è . (La base del logaritmo è determinata dal nostro sistema di numerazione. Quindi una base di 2 dà la lunghezza in binario; una base di 10 in decimale.) `Gli algoritmi ragionevoli sono quelli che si ridimensionano come un polinomio di piccolo grado nella dimensione dell’input (con un grado di forse 2 o 3).

Sui computer convenzionali viene eseguito l’algoritmo di factoring più noto  passaggi [3]. Questo algoritmo, quindi, scala in modo esponenziale con la dimensione di input . Ad esempio, nel 1994 un numero di 129 cifre (noto come RSA129 [3′]) è stato calcolato con successo utilizzando questo algoritmo su circa 1600 workstation sparse in tutto il mondo; l’intera scomposizione ha richiesto otto mesi [4]. Usando questo per stimare il prefattore del suddetto ridimensionamento esponenziale, scopriamo che ci vorranno circa 800.000 anni per calcolare un numero di 250 cifre con la stessa potenza del computer; allo stesso modo, un numero di 1000 cifre richiederebbe anni (significativamente più lunghi rispetto all’età dell’universo). La difficoltà di fattorizzazione di grandi numeri è cruciale per i crittosistemi a chiave pubblica, come quelli usati dalle banche. Lì, tali codici si basano sulla difficoltà di numeri factoring con circa 250 cifre.

Recentemente, è stato sviluppato un algoritmo per il factoring di numeri su un computer quantistico che viene eseguito  passi dove è piccolo [1]. Questo è approssimativamente quadratico nella dimensione dell’input, quindi factoring a 1000 il numero di cifre con un tale algoritmo richiederebbe solo pochi milioni di passaggi. L’implicazione è che i crittosistemi a chiave pubblica basati sul factoring potrebbero essere irrisolvibili.

Per darti un’idea di come questo miglioramento esponenziale potrebbe essere possibile, passiamo in rassegna un esperimento di meccanica quantistica elementare che dimostra dove tale potere può essere nascosto [5]. L’esperimento a due fenditure è un prototipo per osservare il comportamento meccanico quantistico: una sorgente emette fotoni, elettroni o altre particelle che arrivano a una coppia di fenditure. Queste particelle subiscono l’evoluzione unitaria e infine la misurazione. Vediamo un modello di interferenza, con entrambe le fessure aperte, che svaniscono completamente se una fessura è coperta. In un certo senso, le particelle passano attraverso entrambe le fessure in parallelo. Se tale evoluzione unitaria dovesse rappresentare un calcolo (o un’operazione all’interno di un calcolo), il sistema quantistico effettuerebbe calcoli in parallelo. Il parallelismo quantistico arriva gratuitamente. L’output di questo sistema sarebbe dato dall’interferenza costruttiva tra i calcoli paralleli.